Die elektrotechnischen Grundlagen der Lastflussberechnung – BambooGrid-Serie, Teil 2

Im ersten Teil dieser Serie haben wir ein kleines Stromnetz in BambooGrid aufgebaut. Es bestand aus einem externen 110-kV-Netz, einem 110/20-kV-Transformator, einer industriellen Last und einer Photovoltaikanlage auf dem Dach, die als statischer Generator modelliert wurde.

Teil 1:
https://kickstage.com/de/blog/stromnetze-im-browser-modellieren-und-simulieren-bamboogrid-leitfaden

Nach der Berechnung zeigte BambooGrid die Spannung an jedem Bus, die Auslastung des Transformators sowie die mit dem externen Netz ausgetauschte Wirk- und Blindleistung.

Doch was geschieht hinter diesen Ergebnissen? Warum benötigt eine Last sowohl einen Wert in MW als auch einen Wert in MVAr? Und warum werden bei Lastflussberechnungen komplexe Zahlen verwendet?

In diesem Artikel verwenden wir dasselbe Netz wie in Teil 1, um die elektrotechnischen Grundlagen einer Lastflussberechnung zu erklären. Ziel ist es nicht, jede Gleichung der Stromnetzanalyse abzudecken. Stattdessen konzentrieren wir uns auf die Konzepte, die notwendig sind, um zu verstehen, was BambooGrid berechnet und wie die Ergebnisse interpretiert werden können.

Du kannst dieses konkrete Netz direkt in BambooGrid öffnen und live ausprobieren. Ändere jeweils einen Wert und führe anschließend die Lastflussberechnung erneut aus.

BambooGrid-Netz aus diesem Artikel:

https://bamboo.kickstage.com/?s=SUI6Hdxi

Das Beispiel enthält:

ein externes 110-kV-Netz
einen 25-MVA-Transformator mit 110/20 kV
eine Last mit einem Verbrauch von 5 MW und 1 MVAr
eine Photovoltaikanlage mit einer Erzeugung von 2 MW

The Electrical Foundations of Power Flow

Spannung und Strom in Wechselstromsystemen

In einem Gleichstromsystem sind Spannung und Strom konstant, sodass jeweils eine einzelne Zahl ausreicht, um sie zu beschreiben.

Bei Wechselstrom ist das anders: Spannung und Strom steigen und fallen sinusförmig viele Male pro Sekunde – in einem 50-Hz-System fünfzigmal pro Sekunde. Eine einzelne Zahl reicht deshalb nicht mehr aus.

Zur Beschreibung einer Wechselstromgröße benötigen wir zwei Angaben:

ihren Betrag, also wie groß die Schwingung ist
ihren Phasenwinkel, also an welcher Stelle des Zyklus sie sich relativ zu einer gewählten Referenz befindet

Eine Spannung kann beispielsweise einen Betrag von 20 kV und einen Phasenwinkel von −2° besitzen.

Einen Phasenwinkel in BambooGrid anzeigen

Ein Phasenwinkel lässt sich wesentlich leichter verstehen, wenn man ihn sehen kann. BambooGrid kann ihn grafisch darstellen.

Klicke nach einer Lastflussberechnung mit der rechten Maustaste auf ein beliebiges Element – beispielsweise eine Last, einen Generator oder das externe Netz – und öffne das Menü Graph.

Dort stehen zwei Ansichten zur Verfügung:

Power triangle, auf das wir bei der Erklärung von Wirk-, Blind- und Scheinleistung zurückkommen
U/I waveform, das Spannung und Strom des Elements als Sinuskurven über einen vollständigen Zyklus darstellt

Wähle U/I waveform, um den Phasenwinkel direkt zu sehen.

viewing phase angle in bamboogrid web application for power grid analysis

Was ist ein Phasenwinkel?

In der Abbildung stellt die blaue Kurve die Spannung und die rote Kurve den Strom dar. Beide besitzen dieselbe Form und Frequenz, erreichen ihren Maximalwert jedoch nicht zum gleichen Zeitpunkt.

In diesem Beispiel erreicht der Strom sein Maximum etwas später als die Spannung. Er hinkt ihr um 11,3° hinterher – das entspricht knapp einem Zweiunddreißigstel eines vollständigen 360°-Zyklus.

Dieser Versatz von 11,3° ist der Phasenwinkel zwischen Spannung und Strom an der Last.

Genau dieser Winkel wird durch den Leistungsfaktor beschrieben: Je genauer die beiden Kurven übereinanderliegen und je kleiner der Winkel ist, desto größer ist der Anteil der aktiven, nutzbaren Leistung und desto näher liegt der Leistungsfaktor bei 1.

Wenn der Strom der Spannung hinterherläuft, verhält sich das Element induktiv – wie die Last in unserem Beispiel. Wenn der Strom der Spannung vorauseilt, verhält sich das Element kapazitiv.

In beiden Fällen ist die Verschiebung eine direkte visuelle Darstellung des Leistungsfaktors. Perfekt ausgerichtete Spannungs- und Stromkurven mit einem Winkel von 0° würden bedeuten, dass keine Blindleistung vorhanden ist.

Diesen Zusammenhang werden wir gleich auch numerisch betrachten. Der Leistungsfaktor ist der Kosinus dieses Winkels. Am übersichtlichsten lässt sich dies jedoch anhand des Leistungsdreiecks darstellen. Deshalb kommen wir darauf zurück, nachdem wir die Scheinleistung eingeführt haben.

what is a phase angle in AC power circuits

Zwei verschiedene Arten von Winkeln

Es ist wichtig, zwei Größen voneinander zu unterscheiden, die beide als „Winkel“ bezeichnet werden.

Der zuvor beschriebene Winkel ist lokal. Er vergleicht Spannung und Strom an einem einzelnen Element und beschreibt den Leistungsfaktor sowie die Blindleistung dieses Elements.

Der Solver berechnet zusätzlich einen anderen Winkel: den Spannungswinkel jedes Busses. Dieser Winkel ist global.

Jeder Busspannungswinkel wird relativ zu einer gemeinsamen Referenz angegeben. Der Slack-Bus, dessen Spannung vom externen Netz vorgegeben wird, ist als 0° definiert. Die Winkel aller anderen Busse werden relativ dazu angegeben.

Ein Buswinkel von −150,8° bedeutet beispielsweise, dass die Spannung dieses Busses der Spannung des Slack-Busses um 150,8° hinterherläuft.

Die Unterschiede zwischen den Spannungswinkeln der Busse bestimmen, wie Wirkleistung von einem Bus zum anderen fließt. Der lokale Winkel zwischen Spannung und Strom an einem Gerät beschreibt dagegen dessen Blindleistung und Leistungsfaktor.

Ein berechneter Bus besitzt daher zwei Ergebnisse:

einen Spannungsbetrag, beispielsweise 19,9 kV
einen Spannungswinkel, beispielsweise −150,8° relativ zum Slack-Bus

Der Betrag zeigt, ob die Spannung über oder unter ihrem Nennwert liegt. Der relativ zum Slack-Bus gemessene Winkel zeigt, wie die Wirkleistung durch das Netz fließt.

BambooGrid zeigt an jedem Bus sowohl den Spannungsbetrag in kV als auch den Winkel an. Gleichzeitig berücksichtigt der Solver intern alle Winkel, während er das Netz ausgleicht.

Wirkwiderstand, Reaktanz und Impedanz

Wenn Strom durch eine Leitung, ein Kabel oder einen Transformator fließt, trifft er auf einen elektrischen Widerstand gegen den Stromfluss.

In einem Wechselstromnetz besteht dieser Widerstand aus zwei Hauptkomponenten:

Wirkwiderstand
Reaktanz

Wirkwiderstand

Der Wirkwiderstand wandelt einen Teil der elektrischen Energie in Wärme um.

Er ist unter anderem verantwortlich für:

die Erwärmung von Kabeln
Wicklungsverluste in Transformatoren
Leistungsverluste in Leitern

Die durch den Wirkwiderstand verursachte Verlustleistung steigt mit dem Quadrat des Stroms:

P_{loss} = I^{2} \times R

Das bedeutet, dass eine Verringerung des Stroms die elektrischen Verluste deutlich reduzieren kann.

Reaktanz

Die Reaktanz steht mit Energie in Verbindung, die in magnetischen und elektrischen Feldern gespeichert wird.

Transformatoren, Motoren und Freileitungen sind überwiegend induktiv. Kabel und Kondensatorbänke können dagegen einen erheblichen kapazitiven Anteil besitzen.

Im Gegensatz zum Wirkwiderstand wandelt die Reaktanz Energie nicht dauerhaft in Wärme um. Stattdessen wird Energie während jedes Wechselstromzyklus vorübergehend gespeichert und anschließend an das System zurückgegeben.

Impedanz

Wirkwiderstand und Reaktanz werden zu einer gemeinsamen Größe zusammengefasst, die als Impedanz bezeichnet wird:

Z = R + j X

Dabei gilt:

R ist der Wirkwiderstand (Resistanz)
X ist der Blindwiderstand (Reaktanz)
j kennzeichnet den Imaginärteil

Dieses j ist unsere erste Begegnung mit einer komplexen Zahl. Komplexe Zahlen bieten eine kompakte Möglichkeit, zwei zusammengehörige Größen – in diesem Fall Wirkwiderstand und Reaktanz – in einem einzigen Wert zusammenzufassen.

Vorerst kannst du Z = R + jX einfach als „Impedanz ist die Kombination aus Wirkwiderstand und Reaktanz“ lesen. Was komplexe Zahlen tatsächlich darstellen und warum sie in der Wechselstromanalyse so wichtig sind, behandeln wir später in dieser Serie.

Die Impedanz bestimmt, wie viel Strom fließt und wie stark der Strom gegenüber der Spannung phasenverschoben ist.

Die Wechselstromversion des Ohmschen Gesetzes lautet:

V = Z I

oder:

I = \frac{V}{Z}

Der Transformator in unserem BambooGrid-Beispiel besitzt sowohl einen Wirkwiderstand als auch eine Reaktanz. Seine Reaktanz ist jedoch wesentlich größer.

Das ist für Leistungstransformatoren typisch. Der Wirkwiderstand ist weiterhin für die Verluste relevant, aber die Reaktanz hat einen stärkeren Einfluss auf den Spannungsfall und den Blindleistungsfluss.

Wirk-, Blind- und Scheinleistung

Die Last in unserem Beispiel verbraucht:

P = 5 MW

Q = 1 MVAr

Diese Werte beschreiben zwei unterschiedliche Arten elektrischer Leistung.

Wirkleistung

Wirkleistung wird in Watt, Kilowatt oder Megawatt gemessen.

Sie bezeichnet die Leistung, die in nutzbare Arbeit oder Wärme umgewandelt wird.

Beispiele sind:

der Betrieb eines Motors
das Erwärmen von Anlagen oder Materialien
die Versorgung von Beleuchtung
der Betrieb von Computern und elektronischen Geräten

In unserem Beispiel verbraucht die Last 5 MW Wirkleistung.

Blindleistung

Blindleistung wird in var, kvar oder MVAr gemessen.

Sie steht mit den magnetischen und elektrischen Feldern in Verbindung, die von Betriebsmitteln wie Motoren, Transformatoren und Kabeln benötigt werden.

Blindleistung verrichtet nicht auf dieselbe Weise nutzbare Arbeit wie Wirkleistung. Sie trägt jedoch trotzdem zum Strom, zum Spannungsfall, zur Transformatorauslastung und zu den Netzverlusten bei.

In unserem Beispiel verbraucht die Last 1 MVAr Blindleistung.

Scheinleistung

Wirkleistung und Blindleistung werden zur Scheinleistung zusammengefasst.

Der Zusammenhang lautet:

S = P + j Q

Der Betrag der Scheinleistung ist:

∣ S ∣ = P^{2} + Q^{2}

Für unsere Last mit 5 MW und 1 MVAr gilt:

∣ S ∣ = (5 MW)^{2} + (1 MVAr)^{2} = 26 MVA \approx 5.10 MVA

Obwohl die Last 5 MW Wirkleistung verbraucht, müssen der Transformator und die Leiter einen Strom übertragen, der einer Scheinleistung von ungefähr 5,10 MVA entspricht.

Deshalb kann es irreführend sein, ein Netz ausschließlich anhand der Megawattwerte zu bewerten.

Diese drei Größen bilden ein rechtwinkliges Dreieck, das sogenannte Leistungsdreieck:

P bildet die waagerechte Seite
Q bildet die senkrechte Seite
S bildet die Hypotenuse

BambooGrid kann dieses Dreieck für jedes Element darstellen. Klicke nach einer Lastflussberechnung mit der rechten Maustaste auf das Element, öffne das Menü Graph und wähle Power triangle.

power triangle in bamboogrid web application for power grids.png

Der Winkel zwischen der Grundseite P und der Hypotenuse S entspricht demselben Phasenwinkel, den wir zuvor in der Wellenform gesehen haben – in diesem Beispiel ungefähr 11,3°.

Sein Kosinus ist der Leistungsfaktor, den wir im nächsten Abschnitt betrachten.

Leistungsfaktor

Der Leistungsfaktor zeigt, welcher Anteil der Scheinleistung als Wirkleistung genutzt wird.

Er entspricht dem Kosinus des zuvor betrachteten Phasenwinkels zwischen Spannung und Strom und kann direkt aus dem Leistungsdreieck abgelesen werden:

PF = \frac{P}{∣ S ∣}

Für unsere Last gilt:

PF = \frac{5}{5.10} \approx 0.98

Dies entspricht einem Phasenwinkel von ungefähr 11,3° zwischen Spannung und Strom an der Last, da cos⁻¹(0,98) ungefähr 11,3° ergibt. Es handelt sich um dieselbe Art von Winkel, die wir zuvor grafisch dargestellt haben – diesmal mit einem konkreten Zahlenwert.

Das ist ein relativ guter Leistungsfaktor. Trotzdem beeinflusst der Blindleistungsbedarf weiterhin das Netz.

Ein niedrigerer Leistungsfaktor würde einen höheren Strom erfordern, um dieselbe Wirkleistung zu übertragen. Dadurch würden die Transformatorauslastung, die Leiterverluste und der Spannungsfall steigen.

Strom ohne lokale Solarstromerzeugung

Genug Theorie – betrachten wir nun ein praktisches Beispiel.

Wir verwenden das Netz aus unserem vorherigen Blogbeitrag und entfernen den statischen Generator, also die Photovoltaikanlage auf dem Dach. Übrig bleibt nur die Last mit 5 MW und 1 MVAr, die über den Transformator versorgt wird.

Du kannst diesen konkreten Fall in BambooGrid öffnen und selbst nachvollziehen:

https://bamboo.kickstage.com/?s=zloVPqRy

Führe die Lastflussberechnung aus und prüfe, welchen Strom der Transformator übertragen muss. Anschließend berechnen wir, wie dieser Wert zustande kommt.

In einem symmetrischen Dreiphasensystem hängen Scheinleistung, Spannung und Strom folgendermaßen zusammen:

∣ S ∣ = 3 V I

Der ungefähre Strom beträgt daher:

I = \frac{∣ S ∣}{3 V}

Für eine Last von 5,10 MVA bei einer Spannung von 20 kV gilt:

I \approx \frac{5.10 MVA}{3 \times 20 kV} \approx 0.147 kA \approx 147 A

Wenn wir Transformatorverluste und kleine Spannungsabweichungen vernachlässigen, überträgt der Transformator auf seiner 20-kV-Seite ungefähr 147 A.

Verglichen mit der Nennleistung des Transformators von 25 MVA ergibt sich:

Transformer loading \approx \frac{5.10 MVA}{25 MVA} \times 100% \approx 20.4%

Der exakte von BambooGrid angezeigte Wert kann geringfügig abweichen. Die vollständige Berechnung berücksichtigt die tatsächlich berechnete Spannung, Transformatorverluste, den Magnetisierungsstrom, die Stufenstellerposition und weitere Parameter.

Die vollständige Berechnung dieses Netzes ergibt 148 A und eine Auslastung von 20,6 % – geringfügig mehr als unsere Schätzung und damit genau das erwartete Ergebnis.

Hinzufügen einer Solarstromerzeugung von 2 MW

Nun fügen wir die Photovoltaikanlage wieder hinzu.

Ausgehend vom zuvor betrachteten Netz mit ausschließlich der Last fügen wir am 20-kV-Bus einen statischen Generator mit einer Leistung von 2 MW hinzu. Es handelt sich um denselben Industriestandort, jetzt jedoch mit einer Photovoltaikanlage auf dem Dach.

Anschließend führen wir die Lastflussberechnung erneut aus.

Beobachte, was mit der Transformatorauslastung, dem Strom und dem Leistungsaustausch mit dem externen Netz geschieht. Da die Photovoltaikanlage einen Teil des Bedarfs lokal deckt, muss der Transformator weniger Leistung übertragen.

Zunächst berechnen wir die neuen Werte und vergleichen sie anschließend.

Der Solargenerator erzeugt:

P_{solar} Q_{solar} = 2 MW = 0 MVAr

Die Last verbraucht weiterhin:

P_{load} Q_{load} = 5 MW = 1 MVAr

Der Transformator muss daher ungefähr Folgendes bereitstellen:

P_{transformer} = P_{load} - P_{solar} = 5 MW - 2 MW = 3 MW

Die durch den Transformator fließende komplexe Leistung beträgt ungefähr:

S_{transformer} = 3 MW + j 1 MVAr

Die Scheinleistung beträgt:

∣ S_{transformer} ∣ = 3^{2} + 1^{2} = 10 MVA \approx 3.16 MVA

Der ungefähre Strom beträgt nun:

I \approx \frac{3.16 MVA}{3 \times 20 kV} \approx 0.091 kA \approx 91 A

Die vereinfachte Transformatorauslastung beträgt:

Die vollständige Berechnung bestätigt dieses Ergebnis: BambooGrid zeigt ungefähr 92 A und eine Transformatorauslastung von 12,8 % an. Das stimmt sehr gut mit unserer Schätzung überein.

Die Photovoltaikanlage hat den Wirkleistungsbezug und die Transformatorauslastung reduziert. Den Blindleistungsbedarf hat sie jedoch nicht beseitigt.

Die Last benötigt weiterhin 1 MVAr. Deshalb fließt Blindleistung weiterhin vom externen Netz durch den Transformator zur Last.

Daraus ergibt sich eine der wichtigsten Erkenntnisse dieses Beispiels:

Eine lokale Photovoltaikanlage kann den Wirkleistungsbezug reduzieren, ohne den Blindleistungsfluss zu beseitigen.

Was geschieht bei einer Rückspeisung?

In Teil 1 haben wir die Solarstromerzeugung außerdem auf 6 MW erhöht.

Die Last verbraucht weiterhin:

S_{Last} = 5 MW + j 1 MVAr

Die Photovoltaikanlage speist nun ein:

S_{PV} = 6 MW + j 0 MVAr

Die ungefähre Leistung durch den Transformator beträgt:

Transformer power Transformer power Transformer power = Load power - Solar power = (5 + j 1) - (6 + j 0) = - 1 MW + j 1 MVAr

Der negative Wirkleistungswert bedeutet, dass 1 MW aus dem 20-kV-Netz in Richtung des 110-kV-Netzes exportiert wird.

Gleichzeitig zeigt der positive Blindleistungswert, dass die Last weiterhin ungefähr 1 MVAr aus dem externen Netz bezieht.

Wirk- und Blindleistung fließen daher in unterschiedliche Richtungen:

Die Wirkleistung fließt von der Photovoltaikanlage zum externen Netz.
Die Blindleistung fließt vom externen Netz zur Last.

Eine umgekehrte Wirkleistungsrichtung bedeutet deshalb nicht zwangsläufig, dass die gesamte elektrische Leistung in umgekehrter Richtung fließt.

Der Transformator bleibt außerdem belastet, da er weiterhin Blindstrom übertragen muss.

Warum an einer Leitung ein Spannungsfall entsteht

Jede Leitung und jedes Kabel besitzt eine Impedanz. Sie besteht aus dem Wirkwiderstand R und der Reaktanz X:

Z = R + j X

Im Gegensatz zu einem Transformator besitzt eine Leitung kein Übersetzungsverhältnis und ist nicht dafür ausgelegt, die Spannungsebene zu verändern.

Die Spannungsdifferenz zwischen ihren beiden Enden wird stattdessen hauptsächlich durch den Strom verursacht, der durch die Serienimpedanz der Leitung fließt. Bei längeren oder nur gering belasteten Leitungen kann zusätzlich die Leitungskapazität die Spannung beeinflussen.

Nehmen wir an, eine Last wird über eine kurze 20-kV-Leitung versorgt, die an den Transformator angeschlossen ist.

Wenn Strom durch die Leitung fließt, ist die Spannung am Empfangsende normalerweise etwas niedriger als am Einspeiseende.

Für ein symmetrisches Dreiphasensystem kann der Spannungsfall der Leiter-Leiter-Spannung näherungsweise folgendermaßen berechnet werden:

Δ V \approx \frac{R P + X Q}{V}

Dabei gilt:

ΔV ist der ungefähre Spannungsfall der Leiter-Leiter-Spannung
R ist der gesamte Leitungswiderstand
X ist die gesamte Leitungsreaktanz
P ist die durch die Leitung fließende Wirkleistung
Q ist die durch die Leitung fließende Blindleistung
V ist die Leiter-Leiter-Spannung

Wenn R und X in Ohm, P und Q in MW beziehungsweise MVAr und V in kV angegeben werden, ergibt sich der Spannungsfall direkt in kV.

Dies ist nicht die vollständige Gleichung einer Wechselstrom-Lastflussberechnung. Sie bildet jedoch den wichtigsten Zusammenhang ab.

Der Term RP beschreibt den Einfluss des Wirkleistungsflusses durch den Leitungswiderstand. Der Term XQ beschreibt den Einfluss des Blindleistungsflusses durch die Leitungsreaktanz.

Bei Freileitungen ist die Reaktanz häufig ähnlich groß wie oder größer als der Wirkwiderstand. Der Blindleistungsfluss kann daher einen erheblichen Anteil am Spannungsfall haben, selbst wenn der Blindleistungsbedarf deutlich kleiner ist als der Wirkleistungsbedarf.

In diesem Beispiel verbraucht die Last 1 MVAr induktive Blindleistung. Dieser Blindleistungsbedarf erhöht den Strom und trägt zur Verringerung der Spannung am Empfangsende bei.

Wenn der induktive Blindleistungsbedarf steigt, wird der Spannungsfall im Allgemeinen größer. Wenn er sinkt, nähert sich die Spannung am Empfangsende wieder der Spannung am Einspeiseende an.

Erweiterung des BambooGrid-Netzes

Um diesen Effekt in BambooGrid zu demonstrieren, haben wir das ursprüngliche Netz um einen dritten Bus und eine Zuleitung erweitert.

Ausgehend vom 20-kV-Bus des Transformators haben wir einen neuen Load Bus hinzugefügt und ihn über eine 10 km lange Freileitung mit den folgenden Parametern verbunden:

R = 0.194 Ω/ km X = 0.38 Ω/ km

Anschließend haben wir die Last mit 5 MW und 1 MVAr sowie die Photovoltaikanlage mit 2 MW an das entfernte Ende der Leitung verschoben.

Unter der Annahme, dass die Photovoltaikanlage 2 MW mit einem Leistungsfaktor von 1 bereitstellt und keine Blindleistung austauscht, beträgt der Netto-Wirkleistungsbedarf der Zuleitung:

P = 5 MW - 2 MW = 3 MW Q = 1 MVAr

Ergebnisse in BambooGrid

Nach der Lastflussberechnung zeigt BambooGrid am MV Bus eine Spannung von 19,88 kV am Einspeiseende und am Load Bus eine Spannung von 19,38 kV am Empfangsende.

Der Spannungsfall beträgt daher:

Δ V = 19.88 kV - 19.38 kV Δ V = 0.50 kV

Bezogen auf die Nennspannung von 20 kV entspricht dies einem Spannungsfall von ungefähr:

Δ V_{%} = \frac{0.50 kV}{20 kV} \times 100% Δ V_{%} \approx 2.5%

Die Zuleitung überträgt ungefähr 3 MW und 1 MVAr bei einem Strom von 94 A. Sie erreicht eine Auslastung von etwa 20 % und erzeugt zwischen ihren beiden Enden eine Spannungswinkeldifferenz von ungefähr 1,4°.

Du kannst dieses konkrete Netz in BambooGrid öffnen und selbst ausprobieren:

https://bamboo.kickstage.com/?s=mQwvj9g3

Überprüfung des näherungsweisen Spannungsfalls

Über eine Länge von 10 km beträgt der gesamte Leitungswiderstand:

R = 0.194 Ω/ km \times 10 km R = 1.94 Ω

Die gesamte Leitungsreaktanz beträgt:

X = 0.38 Ω/ km \times 10 km X = 3.80 Ω

Mit dem vereinfachten Zusammenhang:

Δ V \approx \frac{R P + X Q}{V}

und unter Verwendung der Nennspannung von 20 kV für die Näherungsrechnung erhalten wir:

Δ V \approx \frac{( 1.94 Ω \times 3 MW ) + ( 3.80 Ω \times 1 MVAr )}{20 kV} Δ V \approx \frac{5.82 + 3.80}{20} kV Δ V \approx 0.481 kV

Als Prozentsatz der Nennspannung ausgedrückt:

Δ V_{%} \approx \frac{0.481 kV}{20 kV} \times 100% Δ V_{%} \approx 2.4%

Die Näherungsrechnung ergibt somit einen Spannungsfall von 0,481 kV. Die vollständige Wechselstrom-Lastflussberechnung in BambooGrid ergibt 0,50 kV.

Beiträge von Wirk- und Blindleistung

Der näherungsweise Anteil des durch die Wirkleistung verursachten Spannungsfalls beträgt:

Δ V_{P} \approx \frac{R P}{V} Δ V_{P} \approx \frac{1.94 Ω \times 3 MW}{20 kV} Δ V_{P} \approx 0.291 kV

Der Blindleistungsanteil beträgt ungefähr:

Δ V_{Q} \approx \frac{3.80 Ω \times 1 MVAr}{20 kV} Δ V_{Q} \approx 0.190 kV

Zusammen ergeben diese Komponenten:

Δ V \approx 0.291 kV + 0.190 kV Δ V \approx 0.481 kV

Der Blindleistungsanteil entspricht ungefähr:

\frac{0.190}{0.481} \times 100 \approx 39.5

Die Blindleistung verursacht damit fast 40 % des Spannungsfalls, obwohl der Blindleistungsfluss nur einem Drittel des Wirkleistungsflusses entspricht.

Der Grund dafür ist, dass die Leitungsreaktanz fast doppelt so groß ist wie der Leitungswiderstand.

Warum das vollständige Ergebnis geringfügig abweicht

Die vereinfachte Berechnung ergibt ungefähr 0,481 kV beziehungsweise 2,4 %. BambooGrid berechnet dagegen ungefähr 0,50 kV beziehungsweise 2,5 %.

Diese geringe Abweichung ist zu erwarten.

Die vereinfachte Formel geht davon aus, dass die Spannung nahe an ihrem Nennwert bleibt. Außerdem berücksichtigt sie nur den führenden Beitrag der durch die Serienimpedanz fließenden Wirk- und Blindleistung.

Die vollständige Wechselstrom-Lastflussberechnung berücksichtigt zusätzlich:

den tatsächlichen Spannungsbetrag entlang der Leitung
Wirk- und Blindleistungsverluste der Leitung
Änderungen des Leistungsflusses zwischen Einspeise- und Empfangsende
die Quer- beziehungsweise Shuntkapazität der Leitung
den nichtlinearen Zusammenhang zwischen Spannung, Strom, Leistung und Phasenwinkel

Die Näherungsrechnung und der vollständige Solver liefern daher nahezu dasselbe Ergebnis. Der vollständige Solver bildet das Netz jedoch genauer ab.

Leitungskapazität und Spannungsanstieg

Leitungen führen nicht immer zu einer Verringerung der Spannung.

Längere Leitungen und Kabel besitzen außerdem Kapazitäten zwischen ihren Leitern sowie zwischen den Leitern und Erde. Diese Kapazität stellt dem Netz Blindleistung zur Verfügung.

Bei einer langen und nur gering belasteten Leitung kann der kapazitive Effekt so groß werden, dass die Spannung am Empfangsende über die Spannung am Einspeiseende steigt.

Dieses Phänomen wird als Ferranti-Effekt bezeichnet.

Das Beispiel zeigt, warum die Spannung nicht allein vom Wirkleistungsbedarf abhängt. Wirkwiderstand, Reaktanz, Blindleistungsfluss, Leitungskapazität und Phasenwinkel tragen alle zur endgültigen Betriebsspannung bei.

Aus diesem Grund muss das Blindleistungsmanagement im gesamten Netz betrachtet werden. Kondensatorbänke, Transformatorstufensteller und die Blindleistungsregelung wechselrichterbasierter Anlagen werden häufig eingesetzt, um die Spannungen innerhalb des gewünschten Bereichs zu halten.

Abschließende Gedanken

Lastflusssoftware kann ein Netz innerhalb weniger Sekunden berechnen. Um die Ergebnisse zu verstehen, reicht es jedoch nicht aus, nur die endgültigen Spannungs- und Auslastungswerte abzulesen.

Komplexe Zahlen ermöglichen es, Beträge und Phasenwinkel von Wechselstromgrößen gemeinsam zu berechnen. Wirkwiderstand und Reaktanz werden zur Impedanz zusammengefasst. Wirk- und Blindleistung werden zur Scheinleistung kombiniert.

Das Per-Unit-System erleichtert den Vergleich von Werten über verschiedene Spannungsebenen hinweg. Die Admittanz ermöglicht es, das physische Netz mathematisch darzustellen.

In unserem Beispiel reduzierte der 2-MW-Solargenerator den Wirkleistungsbezug und die Transformatorauslastung. Den Blindleistungsbedarf der Last beseitigte er jedoch nicht.

Als die Solarstromerzeugung den lokalen Wirkleistungsverbrauch überstieg, kehrte sich die Richtung der Wirkleistung um, während die Blindleistung weiterhin zur Last floss.

Diese Zusammenhänge erklären:

warum der Transformator selbst bei einem geringen Wirkleistungsbezug weiterhin belastet ist
warum Blindleistung die Spannung beeinflusst
warum eine Lastflussberechnung mehr erfordert als das einfache Addieren von Megawattwerten

BambooGrid macht diese Effekte direkt im Browser sichtbar. Indem du jeweils einen Wert änderst und die Ergebnisse vergleichst, kannst du die elektrotechnische Theorie mit dem tatsächlichen Verhalten des Netzes verbinden.

Als Nächstes: Wie der Lastfluss-Solver funktioniert

In diesem Artikel haben wir die Admittanzmatrix und den Newton-Raphson-Solver als Blackboxes behandelt. In Teil 3 öffnen wir diese Blackboxes und stellen die beiden zentralen Ideen des Solvers vor.

Die erste ist die Knotenadmittanzmatrix, auch Ybus genannt. Wir betrachten, wie das Netzdiagramm in eine Matrix umgewandelt wird und was deren einzelne Einträge darstellen.

Die zweite ist das Newton-Raphson-Verfahren. Dabei beginnt der Solver mit einer Schätzung der Spannungen an den Bussen und verbessert diese Schritt für Schritt, bis die Netzgleichungen ausgeglichen sind.

Wir beschränken uns zunächst auf eine leicht verständliche Einführung und vertiefen diese Konzepte in späteren Teilen der Serie.

Die elektrotechnischen Grundlagen der Lastflussberechnung - Bamboogrid Teil 2