Wie State Estimation funktioniert: Rekonstruktion des Netzzustands aus verrauschten Messwerten

Jede Netzleitstelle arbeitet mit Zahlen, denen sie nicht vollständig vertrauen kann. Messgeräte driften. Telemetriedaten fallen aus. Ein Stromwandler misst ein Jahr lang drei Prozent zu viel, bevor es jemand bemerkt. Ein Wert trifft verspätet oder überhaupt nicht ein.

Dennoch benötigen Netzbetreiber ein einheitliches Bild des Stromnetzes – jede Knotenspannung und jeden Leistungsfluss – und zwar genau genug, um Entscheidungen im Wert von Millionen zu treffen.

Diese Entscheidungen sind sehr konkret: Soll die Einspeisung neu verteilt werden, indem ein Kraftwerk seine Leistung erhöht und ein anderes sie reduziert? Ist eine Übertragungsstrecke so nah an ihrer thermischen Belastungsgrenze, dass eingegriffen werden muss? Wird ein Transformator über seine Nennleistung hinaus belastet?

Fehlentscheidungen sind teuer – durch Redispatch-Kosten, eine verkürzte Lebensdauer von Betriebsmitteln oder unnötig abgeschaltete Verbraucher.

State Estimation ist der Algorithmus, der dieses Bild erzeugt. Das Verfahren verarbeitet alles, was die Sensoren des Netzes melden – verrauschte, überlappende und gelegentlich falsche Werte – und reduziert diese Daten auf eine einzige physikalisch konsistente Lösung. Gleichzeitig werden Messwerte gekennzeichnet, die nicht zu den übrigen Daten passen.

Dieser Artikel erklärt die Methode von Grund auf anhand eines Netzes, das Sie selbst öffnen und ausführen können. Alle folgenden Schritte finden in einem kleinen Netzmodell in BambooGrid statt – einer Open-Source-Benutzeroberfläche für die Simulation elektrischer Energiesysteme auf Basis von pandapower.

Das Beispielnetz

Öffnen Sie BambooGrid und laden Sie über File ▸ Open example ▸ State estimation demo das Beispiel für die Netzzustandsschätzung.

Sie erhalten ein kleines gemischtes Netz mit mehreren Spannungsebenen, das im gesamten Artikel verwendet wird:

• Vier 110-kV-Knoten, Bus 1 bis Bus 4, die über vier Leitungen vermascht sind. Bus 1 ist mit dem externen Netz verbunden und dient als Spannungsreferenz.
• Einen 110/20-kV-Zweiwicklungstransformator, der einen 20-kV-Knoten, Bus 5, versorgt.
• Einen 110/20/10-kV-Dreiwicklungstransformator, der einen 20-kV- und einen 10-kV-Knoten versorgt, Bus 6 und Bus 7.
• Lasten im Hochspannungsnetz sowie an allen untergeordneten Spannungsknoten.

Bildunterschrift: Die State-Estimation-Demo: sieben Busse auf den Spannungsebenen 110 kV, 20 kV und 10 kV, wobei Bus 1 mit dem externen Netz verbunden ist.

An jedem Bus befindet sich eine Spannungsmessung. Die Lastbusse verfügen über Leistungsmessungen, während an Leitungen und Transformatoren Leistungsflussmessungen angebracht sind. Insgesamt decken 35 Messwerte ein Netz ab, dessen vollständiger Zustand lediglich durch 15 Zahlen beschrieben wird. Wie sich diese Zahl ergibt, wird später genau erläutert. Dieses Verhältnis – deutlich mehr Messwerte als unbekannte Zustandsgrößen – ist der Grund dafür, dass die Methode funktioniert. Starten Sie die Berechnung über Study ▸ State estimation ▸ Run.

Die Busse werden mit ihren geschätzten Spannungen aktualisiert und eine Meldung bestätigt, dass die Berechnung konvergiert ist. Bei einem Netz dieser Größe ist die Lösung nach wenigen Iterationen erreicht. Der Rest dieses Artikels erklärt, was dabei geschehen ist.

Welche Zustandsgrößen die State Estimation ermittelt

Um ein Stromnetz vollständig zu beschreiben, müssen nicht Tausende verschiedener Größen separat verfolgt werden. Der gesamten Methode liegt eine zentrale Erkenntnis zugrunde:

Wenn die komplexe Spannung an jedem Bus bekannt ist – also ihr Betrag (|V|) und ihr Winkel (\angle\theta) –, können alle anderen Größen des Netzes aus den physikalischen Netzgleichungen berechnet werden.

Leistungsflüsse, Ströme und Einspeisungen ergeben sich vollständig aus den Spannungen.

Die State Estimation ermittelt deshalb nur zwei Größen pro Bus:

• den Spannungsbetrag,
• den Spannungswinkel.

Im Beispielnetz werden der Spannungsbetrag und der Winkel an jedem der sieben Busse betrachtet.

Der Winkel des Referenzbusses Bus 1, der mit dem externen Netz verbunden ist, wird auf null gesetzt. Gegen diesen Referenzwinkel werden alle anderen Winkel gemessen. Er ist deshalb keine unbekannte Größe.

Dies entspricht der Funktion des Slack-Busses in einer Lastflussberechnung. Spannungswinkel sind nur relativ zu einer festgelegten Referenz sinnvoll. Deshalb wird ein Bus auf null gesetzt und jeder andere Winkel relativ zu diesem Bus angegeben.

Damit verbleiben:

• sechs unbekannte Spannungswinkel,
• sieben unbekannte Spannungsbeträge.

Das ergibt zunächst 13 unbekannte Zustandsgrößen. Zwei weitere Größen werden später im Zusammenhang mit dem Dreiwicklungstransformator erläutert.

Insgesamt umfasst der Zustandsvektor somit 15 Unbekannte.

Alles, was der State-Estimation-Algorithmus ausführt, dient dazu, diese Werte zu bestimmen.

Das Problem mit Rohmesswerten

Wenn die Spannung an jedem Bus die gesuchte Größe ist, warum wird sie dann nicht einfach an jedem Bus direkt gemessen? Dafür gibt es vier Gründe, die alle im Beispielnetz sichtbar werden.

• Jedes Messgerät ist verrauscht. Ein Messwert setzt sich aus dem tatsächlichen Wert und einem Fehler zusammen. Die Größe dieses Fehlers wird durch die Standardabweichung σ\sigmaσ des Messgeräts beschrieben – also durch die typische Differenz zwischen dem angezeigten und dem tatsächlichen Wert, ausgedrückt in der jeweiligen Einheit des Messgeräts. Ein kleines σ\sigmaσ steht für ein präzises Messgerät, ein großes σ\sigmaσ für ein unpräzises. Die Spannungsmessgeräte im Beispiel verwenden σ=0,004 p.u.\sigma = 0{,}004\ \text{p.u.}σ=0,004 p.u., also ungefähr ±0,4 %\pm 0{,}4\,\%±0,4%. Für die Leistungsmessgeräte gilt unabhängig von der Größe des Leistungsflusses konstant σ=2 MW\sigma = 2\ \text{MW}σ=2 MW beziehungsweise 2 MVAr2\ \text{MVAr}2 MVAr. Das bedeutet: Ein Fehler von 2 MW ist bei der 60-MW-Last an Bus 3 relativ klein, bei der 12-MW-Last an Bus 7 ist derselbe absolute Fehler dagegen relativ groß. Wer einen einzelnen Messwert ungeprüft übernimmt, übernimmt damit auch dessen Fehler.
• Nicht alles kann gemessen werden. Spannungswinkel werden in realen Stromnetzen nur selten direkt gemessen. In der Regel werden sie aus den Leistungsflüssen in ihrer Umgebung abgeleitet. Eine Ausnahme bilden Phasor Measurement Units (PMUs). Sie messen den Phasenwinkel einer Spannung direkt anhand einer GPS-synchronisierten Zeitreferenz und liefern damit unmittelbar eine Zustandsgröße, die der Schätzalgorithmus andernfalls bestimmen müsste. Der Einsatz von PMUs nimmt zu, ist jedoch weiterhin begrenzt – insbesondere in Europa und besonders in Netzen unterhalb der Übertragungsebene. In den meisten Netzen wird daher ein großer Teil des Netzzustands weiterhin nicht direkt beobachtet. Dieses Beispielnetz enthält keine PMUs, was dem häufigsten praktischen Fall entspricht.
• Die Messwerte widersprechen sich. Aufgrund des Messrauschens liefern die Messgeräte nicht vollständig übereinstimmende Werte. Die Leistung, die ein Messgerät als von Bus 2 in Richtung Bus 3 abfließend erfasst, entspricht nicht exakt der Leistung, die ein anderes Messgerät als an Bus 3 ankommend meldet – obwohl beide Werte nach den physikalischen Gesetzen, abzüglich der Verluste, übereinstimmen müssten. Welcher Messwert sollte stärker gewichtet werden?
• Manche Messwerte sind schlicht falsch. Ein Sensor kann eingefroren sein, Messleitungen können vertauscht worden sein oder ein Wert kann in der falschen Einheit übertragen werden. Wird ein solcher Wert in das Modell übernommen, wirkt er sich auf alle darauf basierenden Entscheidungen aus.

Die Zustandsschätzung verlässt sich deshalb nicht auf ein einzelnes Messgerät. Stattdessen stellt sie eine zentrale Frage:

„Welcher einzelne, physikalisch konsistente Zustand des Stromnetzes erklärt alle diese verrauschten Messwerte gleichzeitig am besten?“

Beantwortet werden kann diese Frage durch die zuvor beschriebene Redundanz. Da wesentlich mehr Messwerte als unbekannte Zustandsgrößen vorhanden sind, kann die Zustandsschätzung mithilfe der zusätzlichen Messwerte das Rauschen ausgleichen, nicht direkt gemessene Größen bestimmen und Messwerte identifizieren, die nicht mit den übrigen Daten übereinstimmen. Diese letzte Eigenschaft bildet die Grundlage der Bad-Data-Erkennung, die am Ende des Artikels behandelt wird.

💡 Die Umkehrung einer Lastflussrechnung. Eine Lastflussrechnung geht davon aus, dass die Einspeisungen an allen Stellen exakt bekannt sind, und berechnet daraus den einen Netzzustand, der diese Vorgaben erfüllt. Dafür sind vollständige und genaue Eingangsdaten erforderlich. Die Zustandsschätzung arbeitet dagegen mit redundanten, verrauschten und unvollständigen Eingangsdaten und bestimmt daraus den wahrscheinlichsten Netzzustand. Die zugrunde liegende Physik ist dieselbe – lediglich das Informationsproblem ist umgekehrt. BambooGrid unterstützt beide Berechnungen: dasselbe Netz, aber zwei unterschiedliche Untersuchungen.

Wie Messungen mit dem Netz verknüpft sind

Wähle im Beispiel einen beliebigen Bus, eine Leitung oder einen Transformator aus und öffne den Inspector. Jede zugeordnete Messung besitzt einen Messwert und ein σ\sigmaσ. Dieses bestimmt, wie stark die Messung bei der Anpassung gewichtet wird, und dient später als Maßstab für die Bewertung ihres Residuums.

Das Measurements-Panel an Bus 3

Bus 3 nach einer fehlerfreien Berechnung. Jedes Messgerät besitzt einen Wert, ein σ\sigmaσ und einen Ein-/Ausschalter. Das Beispiel enthält standardmäßig ein Spannungsmessgerät pro Bus. Hier wurde manuell ein zweites hinzugefügt: 1,0071{,}0071,007 bei σ=0,004\sigma = 0{,}004σ=0,004 neben 1,011{,}011,01 bei σ=0,01\sigma = 0{,}01σ=0,01. Damit liefern zwei Messgeräte unterschiedliche Werte für dieselbe Größe, und die State Estimation gewichtet sie entsprechend. Die RnR_nRn​-Markierungen zeigen die normalisierten Residuen; auf Rn=0,01R_n = 0{,}01Rn​=0,01 wird am Ende noch einmal eingegangen.

Das Messwerte-Panel an Bus 3

Bus 3 nach einer fehlerfreien Berechnung im unveränderten Zustand der Demo: eine Spannungsmessung mit σ = 0,004 sowie P- und Q-Einspeisemessungen mit σ = 2. Jede Messung besitzt einen Wert, ein σ und einen Ein-/Ausschalter. Beachten Sie, wie genau die Schätzung den einzelnen Messwerten folgt – 1,007 gegenüber einem geschätzten Wert von 1,0073 und 60 MW gegenüber 60,0059 MW –, obwohl keiner dieser drei Messwerte ungeprüft übernommen wurde. Die Rₙ-Badges zeigen die normierten Residuen. Auf den Wert Rₙ = 0,09 wird am Ende noch einmal eingegangen.

Das Beispiel verwendet drei Arten von Messgeräten:

• Busspannung VVV – der Betrag der Spannung an einem Bus. Dieser entspricht nahezu direkt einer Zustandsgröße.
• Leistungseinspeisung am Bus P,QP, QP,Q – der Nettoleistungsaustausch zwischen einem Bus und dem Netz. Der Wert besitzt ein Vorzeichen, wobei die verwendete Konvention entscheidend ist: pandapower und damit auch BambooGrid verwenden die Verbraucherzählpfeilkonvention. Ein positiver Wert steht für Leistung, die aus dem Netz bezogen wird. Bus 3 besitzt eine Last von 60 MW, weshalb seine Einspeisemessung +60+60+60 anzeigt. Ein Bus mit Nettoerzeugung weist dagegen einen negativen Wert auf. „Netto“ ist dabei wörtlich zu verstehen: Befinden sich an einem Bus sowohl Lasten als auch Erzeuger, zeigt die Messung die Bilanz aus beiden und nicht eine der beiden Größen separat.
• Leitungs- oder Transformatorfluss P,Q,IP, Q, IP,Q,I – gemessen an einem Ende eines Zweigs, also auf der From- oder To-Seite beziehungsweise auf der HV-, MV- oder LV-Seite.

Der entscheidende Unterschied besteht darin, dass eine Messung normalerweise nicht mit einer Zustandsgröße identisch ist. Ein Spannungsmessgerät erfasst eine Zustandsgröße nahezu direkt. Eine Leistungsflussmessung auf Leitung 2–3 hängt dagegen von den Spannungsbeträgen und Spannungswinkeln an Bus 2 und Bus 3 ab, die über die Leitungsimpedanz miteinander gekoppelt sind. Eine Leistungseinspeisemessung an Bus 3 hängt von Bus 3 und von jedem direkt mit ihm verbundenen Bus ab.

Die meisten Messungen sind daher Funktionen mehrerer Zustandsgrößen gleichzeitig. Die Zuordnung, welche Messung von welchen Zustandsgrößen abhängt, ist für die Lösung des Problems von zentraler Bedeutung. Weiter unten wird diese Zuordnung explizit dargestellt.

🔎 Warum Bus 1 keine Leistungsmessung besitzt. Die Einspeisung am Referenzbus entspricht genau der Leistung, die zum Ausgleich des Netzes benötigt wird. Eine Messung an dieser Stelle würde daher keine zusätzliche Information liefern.

Zwei Standardbegriffe lassen sich in diesem Beispiel direkt beobachten:

• Ein Messdatensatz ist beobachtbar, wenn er ausreicht, um sämtliche Zustandsgrößen zu bestimmen. Gäbe es einen Bereich des Netzes, für den keinerlei Messungen vorliegen, wäre dessen Zustand unbestimmt und die State Estimation könnte nicht ausgeführt werden.
• Ein Messdatensatz ist redundant, wenn er mehr Messungen enthält als das erforderliche Minimum. Dieses Beispiel ist bewusst stark redundant aufgebaut. Dadurch kann der Netzzustand zuverlässig rekonstruiert und später auch ein fehlerhafter Messwert identifiziert werden.

Die Zielfunktion J

Wie entscheidet der Schätzalgorithmus, welcher Zustand der beste ist? Er bewertet jeden möglichen Zustand danach, wie gut dieser die vorhandenen Messwerte erklärt.

Für einen gegebenen Zustand sagt die Netzphysik voraus, welchen Wert jedes Messgerät anzeigen müsste. Die Differenz zwischen dieser Vorhersage und dem tatsächlichen Messwert ist das Residuum der Messung. Ein guter Zustand erzeugt kleine Residuen, ein schlechter Zustand große.

Der Schätzalgorithmus fasst alle Residuen – quadriert und mit σ\sigmaσ gewichtet – zu einem einzigen Wert zusammen:

Die einzelnen Bestandteile bedeuten:

• Gemessen minus vorhergesagt ist das Residuum eines Messgeräts, also die Differenz zwischen dem gemeldeten Wert und dem Wert, der sich aus dem angenommenen Zustand ergibt.
• Durch das Quadrieren werden positive und negative Abweichungen gleich behandelt. Gleichzeitig werden große Abweichungen überproportional stark gewichtet.
• Durch die Division durch σ2\sigma^2σ2 wird jedes Messgerät entsprechend seinem eigenen Rauschniveau gewichtet. Ein Messgerät mit kleinem σ\sigmaσ erhält ein hohes Gewicht. Die Lösung wird daher stärker dazu gezwungen, mit diesem Messwert übereinzustimmen. Ein Messgerät mit großem σ\sigmaσ erhält dagegen ein geringeres Gewicht. Diese Gewichtung ist der Grund, weshalb die State Estimation einer einfachen Mittelwertbildung überlegen ist.
• Die Summe verbindet die Beiträge sämtlicher Messgeräte.

J ist eine einzelne Zahl: die gesamte, mit σ\sigmaσ gewichtete Abweichung zwischen dem Netzmodell und den Messwerten. Die Aufgabe der State Estimation besteht somit darin, den Zustand zu finden, für den J minimal ist.

Auch im Optimum ist J klein, aber nicht gleich null. Aufgrund des Messrauschens kann kein Zustand sämtliche Messwerte exakt erfüllen. Im Beispiel sind die vorgegebenen Messwerte auf eine realistische Genauigkeit gerundet. Deshalb sind die Residuen klein, aber nicht null.

Diese Residuen enthalten wiederum eigene Informationen, die später für die Bad-Data-Erkennung verwendet werden.

Iterative Lösung

Gesucht wird der Zustand, der J minimiert. Wäre die Beziehung zwischen dem Zustand und den Messwerten linear, könnte das Minimum in einem einzigen Schritt berechnet werden. Das ist jedoch nicht der Fall.

Die physikalischen Zusammenhänge eines Stromnetzes sind nichtlinear. Die Ursache dieser Nichtlinearität sollte genau betrachtet werden, da sie den Aufbau des Lösungsverfahrens bestimmt.

Die Wirkleistung, die von Bus iii über einen Zweig mit der Reaktanz X zu Bus j fließt, kann näherungsweise beschrieben werden durch:

Zwei Eigenschaften dieses Ausdrucks machen ihn bezüglich des Zustands nichtlinear.

Die Spannungsbeträge treten als Produkt auf. Die Empfindlichkeit des Leistungsflusses gegenüber ∣Vi∣|V_i|∣Vi​∣ ist daher keine Konstante, sondern hängt vom aktuellen Wert von ∣Vj∣|V_j|∣Vj​∣ ab.

Die Winkeldifferenz befindet sich innerhalb einer Sinusfunktion. Eine Änderung von θi\theta_iθi​ um ein Grad verändert den Leistungsfluss daher um einen Betrag, der von der aktuell vorliegenden Winkeldifferenz abhängt.

Jede Leistungsfluss- und Einspeisemessung im Netz besteht aus Termen dieser Art. Die Beziehung zwischen gemessenen und vorhergesagten Werten ist deshalb über den gesamten Zustandsraum hinweg gekrümmt.

Eine Eigenschaft realer Stromnetze begrenzt jedoch die praktischen Auswirkungen dieser Nichtlinearität. Spannungen liegen normalerweise nahe bei 1,0 p.u.1{,}0\ \text{p.u.}1,0 p.u., die Winkeldifferenzen zwischen benachbarten Bussen betragen meist nur wenige Grad und für kleine Winkel gilt:

In dem Bereich, in dem Stromnetze tatsächlich betrieben werden, verhält sich die Beziehung daher annähernd linear. Die DC-Näherung übernimmt genau diese Annahme ausdrücklich.

Die State Estimation verwendet diese Näherung nicht, profitiert aber von derselben Eigenschaft: Ein Verfahren, das die gekrümmte Oberfläche lokal als linear betrachtet, konvergiert schnell.

Die Nichtlinearität bestimmt, wie das Problem gelöst wird. Für eine gekrümmte Zielfunktion gibt es keine geschlossene Formel für das Minimum. Der Schätzalgorithmus nähert sich ihm daher iterativ:

1. Mit einem Anfangswert starten.
   Bei einem „Flat Start“ werden alle Spannungen auf 1,01{,}01,0 und alle Winkel auf 000 gesetzt. BambooGrid kann alternativ auch mit dem Ergebnis einer Lastflussrechnung starten.
2. Vorhersagen.
   Berechnen, welchen Wert jedes Messgerät beim aktuellen geschätzten Zustand anzeigen müsste.
3. Vergleichen.
   Die Residuen für jedes Messgerät einzeln bestimmen.
4. Abstiegsrichtung bestimmen.
   Um sich in Richtung eines kleineren J zu bewegen, wird die lokale Steigung der Zielfunktion am aktuellen Punkt benötigt.
5. Schritt ausführen.
   Den geschätzten Zustand entlang dieser Richtung verändern.
6. Wiederholen.
   Am neuen Punkt erneut mit Schritt 2 beginnen, bis die Änderungen kleiner als die vorgegebene Konvergenztoleranz sind.

Abstieg zum Minimum von J

Die gewichtete Methode der kleinsten Quadrate in einer Darstellung: Ausgehend von einem Flat Start folgt jeder Schritt der lokalen Steigung – der Jacobi-Matrix H – in Richtung des Minimums. Die Schrittweite nimmt schnell ab und J stabilisiert sich knapp über null an der Rauschuntergrenze.

Abstieg zum Minimum von J

Die gewichtete Kleinste-Quadrate-Methode in einer Abbildung: Ausgehend von einem Flat Start folgt jeder Schritt der lokalen Steigung – der Jacobi-Matrix H – in Richtung des Minimums. Die Schrittweite wird schnell kleiner, und J stabilisiert sich knapp oberhalb von null auf dem durch das Messrauschen bestimmten Niveau.

Die Schleife „Steigung berechnen, Schritt ausführen, Steigung erneut berechnen und wiederholen“ entspricht der klassischen Newton-Raphson-Struktur. Dabei handelt es sich um dasselbe iterative Grundverfahren, das auch bei einer Lastflussrechnung verwendet wird.

Der Unterschied liegt in der Zielsetzung: Eine Lastflussrechnung löst exakte Gleichungen, während die State Estimation J über redundante und verrauschte Messdaten minimiert. Die Kleinste-Quadrate-Variante wird häufig als Gauss-Newton-Verfahren bezeichnet. Beide Verfahren sind eng miteinander verwandt.

📜 Woher die Namen stammen. Die mit diesem Verfahren verbundenen Namen gehen auf drei getrennte Beiträge zurück, von denen sich keiner ursprünglich mit Stromnetzen beschäftigte.

Isaac Newton beschrieb um 1669 ein Verfahren zur Nullstellensuche. Seine Form war auf Polynome beschränkt und noch nicht mithilfe von Ableitungen formuliert.

Joseph Raphson veröffentlichte 1690 eine einfachere iterative Formulierung. Die Darstellung in modernen Lehrbüchern entspricht eher Raphsons Version als Newtons ursprünglichem Verfahren. Die gemeinsame Bezeichnung ist historisch etabliert.

Die Kleinste-Quadrate-Komponente stammt von Carl Friedrich Gauss, der sie etwa ein Jahrhundert später auf ein Problem anwandte, das strukturell mit der State Estimation identisch ist.

Im Jahr 1801 wurde der Asteroid Ceres kurzzeitig beobachtet und verschwand anschließend hinter der Sonne. Aus einer kleinen Menge verrauschter und teilweise widersprüchlicher Teleskopbeobachtungen berechnete Gauss die Umlaufbahn, die am besten zu allen Beobachtungen passte. Er sagte voraus, wo Ceres wieder erscheinen würde – und seine Vorhersage war korrekt.

In der Energietechnik wurde das Verfahren Ende der 1960er-Jahre eingeführt, als Fred Schweppe die statische State Estimation für Stromnetze formulierte.

Die Konvergenz erfolgt in diesem Beispiel schnell, normalerweise innerhalb weniger Iterationen. Das Netz ist beobachtbar, stark redundant und seine Messungen sind untereinander konsistent. Bei jedem Schritt wird die Steigung an einem verbesserten Punkt neu berechnet, wodurch die lokale Näherung mit fortschreitender Konvergenz immer genauer wird.

Der größte Teil des Rechenaufwands findet in Schritt 4 statt, bei der Bestimmung der lokalen Steigung. Diese Steigung besitzt einen eigenen Namen und kann in BambooGrid direkt angezeigt werden.

Die Jacobi-Matrix: Welche Messung hängt von welchem Zustand ab?

Die lokale Steigung der Zielfunktion wird durch die Jacobi-Matrix, dargestellt als H, beschrieben. Sie kann über Study ▸ Measurement Jacobian (H) geöffnet werden. Die Ansicht ist unmittelbar nach einer erfolgreichen State Estimation verfügbar, da die Matrix beim Lösen des Problems als Nebenprodukt berechnet wird.

Heatmap der Messwert-Jacobi-Matrix H

35 Messungen × 15 Zustandsgrößen. Stark eingefärbte Zellen stehen für Messungen, die besonders empfindlich auf eine Zustandsgröße reagieren. Schwarze Zellen sind strukturelle Nullen – die Topologie des Stromnetzes, ausgedrückt durch die Abhängigkeiten der Messungen. Beim Bewegen des Mauszeigers über eine Zelle wird die zugrunde liegende Ableitung angezeigt.

Heatmap der Measurement-Jacobi-Matrix H

35 Messungen × 15 Zustandsgrößen. Stark eingefärbte Zellen kennzeichnen Messungen, die besonders empfindlich auf eine Zustandsgröße reagieren. Schwarze Zellen sind strukturelle Nullen – die Topologie des Stromnetzes, ausgedrückt über seine Messungen. Beim Bewegen des Mauszeigers über eine Zelle wird die zugehörige Ableitung angezeigt.

Der Aufbau:

• Jede Zeile entspricht einer Messung, beispielsweise „V Bus 3“ oder „P Line 1–2 (from)“.
• Jede Spalte entspricht einer Zustandsgröße – zunächst sämtliche Buswinkel ∠\angle∠, anschließend sämtliche Spannungsbeträge ∣V∣|V|∣V∣.
• Jede Zelle enthält eine partielle Ableitung: Wie stark würde sich diese Messung verändern, wenn die betreffende Zustandsgröße geringfügig erhöht würde?

H ist eine Empfindlichkeitsmatrix, die Messungen mit Zustandsgrößen verbindet. Ihre Struktur beschreibt zugleich das Stromnetz:

• Eine stark eingefärbte Zelle bedeutet, dass die Messung sehr empfindlich auf die betreffende Zustandsgröße reagiert.
• Eine leere beziehungsweise mit null belegte Zelle bedeutet, dass die Messung strukturell unabhängig von dieser Zustandsgröße ist. Ein Leistungsfluss auf Leitung 1–2 enthält beispielsweise keine direkte Information über die Spannung an Bus 7 auf der anderen Seite des Netzes. Da keine direkte elektrische Verbindung besteht, ist dieser Eintrag exakt null.

Warum das Nullmuster die Topologie abbildet

Jede Zelle enthält eine partielle Ableitung. Eine partielle Ableitung ist null, wenn die betreffende Zustandsgröße in der Gleichung der Messung nicht vorkommt.

Entscheidend ist somit die Frage, welche Zustandsgrößen in den jeweiligen Gleichungen enthalten sind.

Der Leistungsfluss auf Leitung 1–2 wird aus ∣V1∣|V_1|∣V1​∣, θ1\theta_1θ1​, ∣V2∣|V_2|∣V2​∣, θ2\theta_2θ2​ und der Leitungsimpedanz berechnet. Die Busse 3 bis 7 kommen in dieser Gleichung nicht vor. Eine Änderung dieser Zustände verändert den vorhergesagten Leistungsfluss daher exakt um null und nicht lediglich um einen kleinen Betrag.

Die Einspeisung an Bus 3 entspricht der Summe aller Leistungsflüsse, die Bus 3 verlassen. Ihre Gleichung enthält daher Bus 3 sowie alle direkt mit Bus 3 verbundenen Busse – und keine darüber hinausgehenden.

Die von null verschiedenen Zellen einer Zeile bilden somit eine Auflistung der Busse, mit denen die jeweilige Messung elektrisch verbunden ist.

Zeile für Zeile zeichnet H auf, womit jedes Messgerät verbunden ist. Zusammengenommen bilden die Zeilen die Konnektivität des Netzes in Matrixform ab. Selbst das Nullmuster allein würde ohne Beschriftungen ausreichen, um zu rekonstruieren, welcher Bus mit welchem anderen Bus verbunden ist.

Der Schätzalgorithmus nutzt dieselbe Eigenschaft auch rechnerisch: H ist eine dünnbesetzte Matrix. Spezielle Solver für dünnbesetzte Matrizen sind darauf ausgelegt, diese Struktur effizient auszunutzen.

Über das Feld Focus kann H auf die Messungen reduziert werden, die einen ausgewählten Bus betreffen, sowie auf die Zustandsgrößen, von denen diese Messungen abhängen.

In dieser Ansicht können auch die Zustandsspalten direkt gezählt werden. Dabei werden zwei Spalten sichtbar, die zunächst nicht offensichtlich sind: Der Dreiwicklungstransformator trägt eine Spalte für den Winkel seines Sternpunkts und eine weitere für den Spannungsbetrag dieses Sternpunkts bei.

Der Grund liegt in der Modellierung des Bauteils. pandapower bildet einen Dreiwicklungstransformator nicht als einzelnes Element ab. Stattdessen wird er als drei Zweiwicklungstransformatoren in einer Y-Schaltung modelliert – einer für jede Wicklung. Alle drei sind mit einem gemeinsamen Hilfsbus verbunden, dem sogenannten Sternpunkt.

Dieser Bus existiert ausschließlich innerhalb des Modells. Er besitzt keinen physischen Anschluss und kann nicht direkt gemessen werden. In den Gleichungen wird er jedoch wie ein gewöhnlicher Bus mit einem eigenen Spannungswinkel und einem eigenen Spannungsbetrag behandelt.

Beide Größen sind echte Unbekannte, die der Schätzalgorithmus bestimmen muss. Sie werden vollständig aus den Messungen an den drei umliegenden Wicklungen abgeleitet. Durch diese beiden zusätzlichen Spalten steigt die Anzahl der Zustandsgrößen von 13 auf 15.

Die auf Bus 3 fokussierte Jacobi-Matrix

Der Fokus ist auf Bus 3 gesetzt: Von der vollständigen Matrix mit 35 Messungen × 15 Zustandsgrößen bleiben 17 Messungen × 11 Zustandsgrößen übrig. Alle Einträge, die strukturell unabhängig von Bus 3 sind, wurden entfernt.

Der Focus ist auf Bus 3 gesetzt: 17 Messungen × 11 Zustandsgrößen statt der vollständigen 35 × 15. Alles, was strukturell unabhängig von Bus 3 ist, wurde ausgeblendet.

Ein wichtiger Punkt für den nächsten Abschnitt: H erfüllt zwei Aufgaben. Die Matrix beschreibt die Steigung, der der Solver bei der Minimierung von J folgt. Gleichzeitig bestimmt sie, wie ein fehlerhafter Messwert in den Residuen sichtbar wird.

Erkennung fehlerhafter Messdaten

An dieser Stelle wird die zuvor beschriebene Redundanz besonders nützlich.

Da wesentlich mehr Messungen als unbekannte Zustandsgrößen vorhanden sind, bestimmt kein einzelner Messwert das Ergebnis allein. Ist ein Messwert falsch, begrenzen die umliegenden Messungen die Anpassung: Die Schätzung bewegt sich teilweise in Richtung des falschen Werts, doch die anderen Messungen verhindern, dass sie ihm vollständig folgt. Die verbleibende Differenz ist ein großes Residuum – eine Lücke zwischen dem gemeldeten Wert und dem Wert, den der konvergierte Zustand vorhersagt. Diese Lücke wäre nicht vorhanden, wenn der Messwert korrekt wäre. Fehlerhafte Messdaten werden daher in den Residuen sichtbar.

Wie weit sich die Schätzung verschiebt, hängt davon ab, wie stark die betreffende Messung durch andere Messungen bestätigt wird. Genau dies wird im Folgenden durch das normierte Residuum quantifiziert.

So können Sie den Effekt reproduzieren: Führen Sie State Estimation zunächst einmal mit der unveränderten Demo aus. Wählen Sie anschließend einen Bus aus und ändern Sie einen Messwert – erhöhen Sie beispielsweise die Leistungsmessung an Bus 3 von 60 MW auf 80 MW. Führen Sie die Berechnung erneut aus. Das Residuum dieser Messung steigt stark an und BambooGrid löst eine Bad-Data-Warnung aus

Erneute Berechnung nach Änderung eines Messwerts – die Bad-Data-Warnung wird ausgelöst

Führen Sie zunächst eine fehlerfreie Berechnung aus, ändern Sie anschließend die P-Messung an Bus 3 von 60 MW auf 80 MW und starten Sie die Berechnung erneut: „Estimation converged, but a measurement looks bad — it’s flagged red in the inspector.“ Die Schätzung ergibt 74,75 MW und die Messung erreicht ein Rₙ von 5,12.

Dabei stellen sich zwei Fragen: Ist überhaupt etwas falsch? Und: Welche Messung ist betroffen? Die klassische Vorgehensweise verwendet dafür zwei separate Tests.

Der klassische erste Test

Der erste Schritt im Lehrbuch ist ein Chi-Quadrat-Test. Der Name ist nicht willkürlich gewählt, sondern ergibt sich aus dem Aufbau von J. Jeder Term in J besteht aus einem Residuum, das durch das σ der jeweiligen Messung geteilt und anschließend quadriert wird. Wird ein normalverteilter Fehler durch seine eigene Standardabweichung geteilt, entsteht eine standardnormalverteilte Variable. Jeder Term entspricht daher näherungsweise dem Quadrat einer standardnormalverteilten Variable – und eine Summe quadrierter standardnormalverteilter Variablen ist definitionsgemäß Chi-Quadrat-verteilt. J ist daher bereits aufgrund seines Aufbaus eine Chi-Quadrat-verteilte Variable. Die Anzahl der Freiheitsgrade entspricht der Anzahl der Messungen abzüglich der Anzahl der Zustandsgrößen. Diese Differenz entspricht der Redundanz des Messsystems.

Dadurch entsteht ein quantitativer Erwartungswert, mit dem das Ergebnis verglichen werden kann. Auch bei einer fehlerfreien Berechnung ist J aufgrund des normalen Messrauschens klein, aber nicht null. Die Verteilung gibt an, wie groß J bei einer bestimmten Redundanz plausiblerweise sein sollte. Ist J deutlich größer als dieser Erwartungswert, liegt mehr als gewöhnliches Messrauschen vor. Der Test erkennt somit das Vorhandensein fehlerhafter Messdaten, identifiziert jedoch nicht, welche Messung dafür verantwortlich ist.

BambooGrid führt diesen Test nicht aus. Stattdessen geht es direkt zur zweiten Frage über und verwendet deren Ergebnis, um beide Fragen zu beantworten.

Welche Messung ist fehlerhaft?

Es wäre aus zwei Gründen falsch, einfach die Messung mit dem größten Rohresiduum verantwortlich zu machen. Ein einzelner grober Fehler erhöht auch die Residuen anderer Messungen, da alle Messungen über den gemeinsamen Netzzustand miteinander gekoppelt sind. Außerdem hat eine Abweichung von „5 MW“ bei einem Messgerät mit hohem σ nicht dieselbe Bedeutung wie bei einem Messgerät mit niedrigem σ. Rohresiduen sind daher nicht direkt zwischen verschiedenen Messungen vergleichbar.

Die Lösung besteht darin, jedes Residuum auf eine gemeinsame Skala zu übertragen. Diese Größe wird als normiertes Residuum rₙ bezeichnet. BambooGrid zeigt diesen Wert an und verwendet ihn für die Kennzeichnung fehlerhafter Messungen.

Was ist rₙ? Es handelt sich um das Rohresiduum einer Messung, geteilt durch die erwartete Größe dieses Residuums, dargestellt durch Ω. Ω kombiniert zwei Faktoren: das Rauschniveau der jeweiligen Messung und den Grad, zu dem sie durch andere Messungen bestätigt wird. Eine Messung, die von vielen anderen Messwerten bestätigt wird, ist stark eingeschränkt. Ein Fehler in dieser Messung erzeugt daher ein großes, deutlich sichtbares Residuum und ihr Ω ist groß. Eine Messung mit geringer Bestätigung ist nur schwach eingeschränkt. Selbst ein falscher Wert erzeugt daher möglicherweise nur ein kleines Residuum und ihr Ω ist klein. Die Division durch Ω beantwortet die vergleichbare Frage: Ist dieses Residuum im Verhältnis zu der Größe, die bei genau dieser Messung normalerweise zu erwarten wäre, ungewöhnlich groß? Das Ergebnis wird in Standardabweichungen ausgedrückt, die im gesamten Netz vergleichbar sind.

Hier besteht die Verbindung zum vorherigen Abschnitt: Ω wird aus derselben Jacobi-Matrix H berechnet. Wie stark eine Messung durch andere Messungen bestätigt wird, hängt davon ab, wie Messwerte und Zustandsgrößen miteinander gekoppelt sind. Genau diese Zusammenhänge beschreibt H. Die Matrix, die den Berechnungsprozess steuert, bestimmt daher zugleich, wie Fehler in Form von Residuen sichtbar werden.

⚠️ Gemessen − geschätzt ist nicht rₙ. Betrachten Sie erneut die oben gezeigte Spannungsmessung an Bus 3: gemessen 1,0070, geschätzt 1,0073, rₙ 0,09. Die Subtraktion 1,0070 − 1,0073 = −0,0003 ergibt das Rohresiduum und ist korrekt. Die Spalte rₙ zeigt jedoch das normierte Residuum an. Dabei wird die Rohdifferenz mithilfe von Ω in Standardabweichungen umgerechnet. Eine Rohdifferenz von 0,0003 p.u. ist im Verhältnis zu einem σ von 0,004 p.u. bereits klein. Die Division durch Ω – das hier etwas kleiner als σ ist, da die Messung durch die umliegenden Leistungsflüsse bestätigt wird – ergibt rₙ = 0,09: eine nahezu exakte Übereinstimmung, die deutlich unter dem Grenzwert von 3 liegt. Die Division kann anhand der Tabelle nicht exakt manuell nachvollzogen werden, da die Spalten für gemessene und geschätzte Werte für die Anzeige gerundet sind und Ω intern berechnet, aber nicht angezeigt wird. Zusammengefasst: Gemessen − geschätzt gibt die Größe der Abweichung an; rₙ beschreibt ihre statistische Bedeutung.

Zusammen bilden diese Größen den standardmäßigen Largest-Normalized-Residual-Test: Berechnen Sie rₙ für jede Messung, bestimmen Sie den größten Wert und kennzeichnen Sie die betreffende Messung als fehlerhaft, wenn der Wert 3 – also drei Standardabweichungen – überschreitet. Dies ist die vollständige Bad-Data-Erkennung von BambooGrid. Es gibt keinen separaten vorgelagerten Test. Bleibt das größte rₙ unter 3, wird keine Messung gekennzeichnet und die Berechnung gilt als fehlerfrei. Überschreitet der Wert den Grenzwert, ist die Messung, die ihn überschritten hat, das Ergebnis des Tests. Ein einziger Test beantwortet somit beide Fragen. Deshalb wird eine einzelne Messung und nicht eine Gruppe von Messungen identifiziert. In der Praxis würde die betreffende Messung korrigiert oder entfernt und die Berechnung anschließend erneut ausgeführt. Durch die Beseitigung des tatsächlichen Fehlers sinken auch die erhöhten Residuen, die er bei anderen Messungen verursacht hat. Danach kann der nächstgrößte Wert auf Grundlage einer fehlerfreien Berechnung neu bewertet werden.

Die gekennzeichnete Messung im Inspector

Dieselbe P-Messung an Bus 3 wurde von 60 MW auf 80 MW geändert – ein plausibler und kein extremer Wert. Die Schätzung stabilisiert sich bei 74,8 MW, das normierte Residuum erreicht Rₙ = 5,12 und die Messung wird als LIKELY BAD markiert. Das Überschreiten von 3σ reicht für die Erkennung aus; ein grober Fehler ist nicht erforderlich.

Die Grenze: nicht erkennbare Fehler

Das Verfahren besitzt eine reale Grenze, die sich auch mit der Demo demonstrieren lässt. Einige Messungen werden durch keine anderen Messungen bestätigt. Werden sie entfernt, ist das Netz nicht mehr beobachtbar. Bei diesen Messungen ist Ω praktisch null. Ihr Residuum wird unabhängig vom gemeldeten Wert auf null gezwungen und ein Fehler kann niemals in Form eines Residuums sichtbar werden. Er ist nicht erkennbar. BambooGrid kennzeichnet solche Messungen als kritisch, anstatt ein bedeutungsloses rₙ anzuzeigen, da keine andere Messung für ihre Überprüfung zur Verfügung steht.

Deaktivieren Sie in der Demo einzelne Messungen – jede besitzt einen eigenen Schalter –, bis eine von ihnen kritisch wird. Ihr Status ändert sich entsprechend. Dies ist die deutlichste Demonstration des Grundprinzips der gesamten Methode: Redundanz ermöglicht die Erkennung von Fehlern. Je stärker eine Messung durch andere Messungen bestätigt wird, desto zuverlässiger kann ein Fehler in ihr erkannt werden.

Zusammenfassung

1. Rohmesswerte sind verrauscht, unvollständig, widersprechen sich teilweise und sind gelegentlich falsch. Daher wird kein einzelner Messwert ungeprüft übernommen.
2. Das Netz besitzt einen einzigen zugrunde liegenden Zustand – den Spannungsbetrag und den Spannungswinkel an jedem Bus –, aus dem alle anderen Größen abgeleitet werden können.
3. State Estimation bestimmt den Zustand, der alle Messungen gleichzeitig am besten erklärt, und gewichtet jede Messung anhand ihres σ.
4. Ein möglicher Zustand wird mit J, der gesamten anhand von σ gewichteten Abweichung, bewertet. Anschließend wird nach dem Zustand gesucht, der J minimiert.
5. Da die physikalischen Netzgleichungen nichtlinear sind, besitzt J kein Minimum in geschlossener Form. Der Algorithmus nähert sich ihm iterativ und verwendet die Jacobi-Matrix H im Newton-Raphson-Verfahren als lokale Steigung.
6. Residuen machen fehlerhafte Messdaten sichtbar: Überschreitet das größte normierte Residuum den Wert 3σ, zeigt dies sowohl das Vorhandensein eines Fehlers an als auch die dafür verantwortliche Messung.
7. Dieselbe Matrix H, die den Berechnungsprozess steuert, bildet auch die Grundlage für die Fehlererkennung. Deshalb deckt eine einzige Darstellung in BambooGrid beide Teile des Verfahrens ab.

Öffnen Sie die Demo, führen Sie State Estimation aus und ändern Sie einen Messwert. Der gesamte Ablauf lässt sich mit wenigen Klicks reproduzieren.

Basierend auf dem Weighted-Least-Squares-State-Estimator von pandapower, visualisiert in BambooGrid.